ව්‍යුත්පන්නය

ව්‍යුත්පන්නය

Derivative

ගණිතයෙහි එන කලනය නම් වූ විෂයට අදාලව, ව්‍යුත්පන්නය යනු ශ්‍රිතයකට ඇතුලත් කරන අගයන් අනුව ශ්‍රිතය වෙනස්වන ආකාරය පිලිබඳ මිනුමකි. එනම් ව්‍යුත්පන්නය යනු එක්‌ රාශියක වෙනස් වීම මත අනෙක් රාශියෙහි කොපමණ වෙනස්වීමක් සිදුවේද යන්න පිලිබඳ මිනුමකි.උදාහරණයක් වශයෙන්, චලනය වන වස්තුවක කාලය අනුබද්ධයෙන් ව්‍යුත්පන්නය යනු එම වස්තුවෙහි එම මොහොතෙහි පවතින ප්‍රවේගයයි.

.ශ්‍රිතයෙහි වක්‍රය කළු පැහැයෙන් දැක්වෙන අතර ශ්‍රිතයට ස්පර්ශක රේඛාවක් රතු පැහැයෙන් දැක්වේ. ස්පර්ශක රේඛාවේ අනුක්‍රමණය එම ලකෂයේදී ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයට සමානවේ.

ව්‍යුත්පන්න සෙවීමේ ක්‍රියාවලිය අවකලනය ලෙස හඳුන්වනු ලැබේ.ව්‍යුත්පන්න සෙවීමේ ක්‍රියාවලියේ විලෝමය ප්‍රතිව්යුත්පන්නය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර එම ක්‍රියාවලිය අනුකලනය ලෙස හැඳින්වේ. අවකලනය සහ අනුකලනය කලනයේ මුලික ක්‍රියාදාමයන් වේ.

අවකලනය සහ ව්‍යුත්පන්නය

(විශාලනය සඳහා ක්ලික් කරන්න) සැම ලක්ෂයකදිම ${\displaystyle \scriptstyle f(x)=1+x\sin x^{2}}$ ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය රේඛාවේ බෑවුම වන අතර එනම් රේඛාව x අක්ෂයේ ධන දිශාව සමග සාදන කෝණයේ ටන්ජනය වේ. රේඛාව සැම විටම නිල් පැහැති වක්‍රයට ටැංජන රේඛාවක් වේ. ව්‍යුත්පන්නය ධන වන විට රේඛාව කොළ පැහැයද රින වනවිට රතු පැහැයද අගයක් නොමැතිවිට කළු පැහැයද ගනී.

අවකලනය යනු ස්වායත්ත විචල්‍යය(x)හි වෙනස්වීම අනුව පරායත්ත විචල්‍යය(y)හි වෙනස්වීමේ සීග්‍රතාවය ගණනය කිරීමේ ක්‍රමයකි. මෙම වෙනස්වීමේ සීග්‍රතාවය x විශයෙන් y හි ව්‍යුත්පන්නය ලෙස හැඳින්වේ. තවද, x අනුව y හි පරයත්තතාවය යන්නෙහි අදහස නම් y යනු x හි ශ්‍රිතයක් යන්නයි.මෙම සම්බන්ධතාවය y = f (x) ලෙස දැක්විය හැක. මෙහි f යනු ශ්‍රිතයයි. x සහ y යනු තාත්වික සංඛ්‍යා නම්, x ට එරෙහිව y ප්‍රස්ථාරගත කලවිට ව්‍යුත්පන්නය මගින් එම වක්‍රයෙහි සෑම ලක්ෂයකදීම අනුක්‍රමණය මනිනු ලැබේ.

සරලම අවස්ථාව නම් y යනු x හි රේඛීය ශ්‍රිතයක් වීමයි. එනම් x ට එරෙහිව y ප්‍රස්ථාරගත කලවිට එය සරල රේඛාවකි. මෙම අවස්ථාවේදී y = f (x)= mx +b වේ. මෙහි m හා b තාත්වික සංඛ්‍යා වේ. අනුක්‍රමණය(m) = (y හි වෙනස්වීම / x හි වෙනස්වීම ) වේ.

${\displaystyle m={{\mbox{change in }}y \over {\mbox{change in }}x}={\Delta y \over {\Delta x}}}$

Δ යනු ග්‍රීක අක්ෂරයක් වන අතර එය මෙහිදී y වෙනස සඳහා වන කෙටි යෙදුම වේ. පහත සමීකරණය නිවැරදි වන අතර මෙහි Δy = m Δx. y + Δy = ƒ(x+ Δx) = m (x + Δx) + b = m x + b + m Δx = y + mΔx. මෙමගින් රේඛාවේ බෑවුම සඳහා වන නිවැරදි අගය ලැබෙන අතර නමුත් f රේඛිය ශ්‍රිතයක් නොවන විට මේසඳහා භාවිතාකරන ක්‍රමවේදය අවකලනය වේ

වෙනස් වීමේ සිඝ්‍රතාවය අගයන් සිමා කිරීම මගින්.

වගුව 1. ටැංජන රේඛාව (x, ƒ(x))හිදී.

වගුව 2. (x, ƒ(x))හිදී හා (x+h, ƒ(x+h)) හිදී y= ƒ(x) වක්‍රයට ඇඳි හරස් රේඛාව.

වගුව 3 ටැංජන රේඛාව හරස් අවම කිරීම මගින්.

මෙම අදහස 1 සිට 3 දක්වා වගු මගින් පැහැදිලි කරනු ලබයි.මෙහිදී වෙනස් වීමේ සිඝ්‍රතාවය ,( Δy / Δx) Δx හි අගය කුඩා වනවිට ශ්‍රිතයේ අගයන් සිමා කිරීම මගින් ගනු ලැබේ.

ලයිබිනිස්ට් අන්කනයට අනුව x හි කුඩා වෙනස dx ලෙස සංකේතවත් කරනුලබන අතර මෙවිට x අනුරූපව y හි ව්‍යුත්පන්නය

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\!}$

මගින් සංකේතවත් කරනු ලැබේ.

(ඉහත සඳහන් ප්‍රකාශනය x ට අනුරූපව y හි ව්‍යුත්පන්නය ලෙස කියවනු ලැබේ.නැතහොත් "dy " යට "dx" ලෙස කියනු ලැබේ. ) මෙම ක්‍රමයේදී යම් සිමා කිරීම් ඇති නිසා සම අවස්ථාවකටම මෙම ක්‍රමය බාවිතා කල නොහැක එබැවින් වෙනත් මුලධර්ම බාවිතා කල යුතුය.

අන්තර් ලබ්ධිය මගින් ව්‍යුත්පන්නය(අවකලනය ) අර්ථ දැක්වීම

f තාත්වික ශ්‍රිතයක් වන විට x = a විට ශ්‍රිතයට අඳි ටැංජන රේඛාව (a , f (a)) හරය යන සරල රේඛාවකි. මෙවිට f රේඛිය ශ්‍රිතයක් නොවන නිසා x = a හිදී x එදිරිව f හි ව්‍යුත්පන්නය සෙවීම අපහසුය. මෙනිසා h කුඩා විට f (a) හිදී x ට අනුරූපව අනුක්‍රමණය, (a ,f (a)) හා (a + h ,f (a + h)) ලක්ෂ හරහා යන රේඛාවේ අනුක්ක්‍රමණය ලෙස ගනු ලැබේ .මෙම රේඛාව සීකන රේඛාවක් හෙවත් හරස් රේඛාවක් ලෙස වේ .

මෙවිට a හිදී f (x) හි ව්‍යුත්පන්නය(අවකලනය ) පහත සමීකරණය මගින් ලබාගත හැක

${\displaystyle m={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-(x)}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

මෙම මුලධර්මය ව්‍යුත්පන්න සෙවීමේ නිව්ටන්ගේ (difference)අන්තර් ලබ්ධිය නියමය ලෙස හැඳින්වෙන අතර මෙවිට x = a හිදී f (x) ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය හෙවත් අවකලන සංගුණකය පහත දැක්වෙන සමීකරණය මගින් ලැබේ.

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

ඉහත f '(a) යනු a හිදී f (x) ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය හෙවත් අනුක්ක්‍රමණය වේ. මෙවිට ව්‍යුත්පන්නය පහත ප්‍රතිපලය තෘප්ත කල යුතුය.

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a)-f'(a)\cdot h \over h}=0,}$

a හිදී f (x) ශ්‍රිතයට අඳි ටැංජන රේඛාව වඩා සාර්ථක විට පහත ප්‍රතිපලයද සත්‍ය විය යුතුය.

${\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h}$

උදාහරණ

ƒ(x) = x² වර්ගජ ශ්‍රිතයට x = 3 හිදී ව්‍යුත්පන්නයක් ඇති අතර අගය 6 ක් වේ. h හි අගය ශුන්‍යට ලඟා වනවිට ඉහත ප්‍රතිපල මගින් එය පහත පරිදි සෙවිය හැක.

${\displaystyle f'(3)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}.}$

ඉහත අවසාන සමානතවයට අනුව නිවැරදි අගය ලැබීමට නම් h හි අගය 0 ට සමාන විය යුතුය නමුත් එවිට ඉහත ප්‍රතිපල අර්ථ නොදැක්වෙන බැවින් h ට ඉතා කුඩා අගයක් ගෙන ආසන්න වශයෙන් ගණනය කලයුතු වේ.

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6.}$

මේඅනුව වර්ගජ ශ්‍රිතයේ වක්ක්රයහි (3,9) ලක්ෂයේදී බෑවුම 6 ක් වේ. තවද x = 3 හිදී ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයහි අගය 6 කි . මෙවිට ƒ '(3) =6 නිසා x = a විට ƒ '(a) = 2a.වේ.

සන්තතිකබව හා අවකල්‍යබව

සලකුණු කර ඇති සීමාවේදී ශ්‍රිතය සන්තතික නොවන නිසා. එහිදී ශ්‍රිතයට ව්‍යුත්පන්නයක් නොමැත.

y=f(x) යන ශ්‍රිතය a හිදී අවකල්‍ය නම්, එම ශ්‍රිතය a හිදී සන්තතික විය යුතුය. උදාහරණයක් වශයෙන්, f යනු පියගැට ශ්‍රිතයක්(step function) යැයි සලකමු. එම f ශ්‍රිතය a යන අභිමත ලක්ෂ්‍යයට වඩා කුඩා සියලු x අගයන්හිදී 1 යන අගය ලබාදේනම් සහ a ට වඩා විශාල හෝ සමාන සියලු x අගයන්හිදී 10 යන අගය ලබාදේනම් f ශ්‍රිතයට a හිදී ව්‍යුත්පන්නයක් පැවතිය නොහැක. h යනු ඍණ අගයක් නම්, (a+h) යනු ශ්‍රිතයේ පහල කොටසේ පවතින අගයක් වන අතර a සිට a +h දක්වා සීකන රේඛාව අධික බෑවුමක් සහිත වේ. h ශුන්‍යය කර ලගා වන විට බෑවුම අනන්තය කරා යයි.h යනු ධන අගයක් නම් (a +h) ඉහල කොටසේ පවතින අතර a සිට a +h දක්වා සීකන රේඛාවේ බෑවුම ශුන්‍ය වේ. එම නිසා සීකන රේඛාව එක් බෑවුමක් කරා ලගා නොවන බැවින් අන්තර ලබ්ධියට සීමාවක් නොපවතියි.

මාපාංක ශ්‍රිතය සන්තතික වන නමුත් x =0 ලක්ශයේදී අවකල්‍ය නොවේ. ඊට හේතුව වනුයේ x =0 හිදී ටැංජන රේඛාවේ අනුක්ක්‍රමණය x අක්ෂයේ දන දිශාවෙන් ලඟා වන අගයට x අක්ෂයේ ඍණ ලඟා වන අගයට සමාන නොවීමයි ..

එසේවුවත්, ශ්‍රිතයක් යම් ලක්ෂයකදී සන්තතික වුවද එම ශ්‍රිතය එම ලක්ෂ්‍යයේදී අවකල්‍ය නොවිය හැක.උදාහරණයක් වශයෙන්,y =|x| යන මාපාංක ශ්‍රිතය x = 0 හිදී සන්තතික වන නමුත් අවකල්‍ය නොවේ.h යනු ධන අගයක් නම්,0 සිට h දක්වා සීකන රේඛාවේ බෑවුම 1 වන අතර h යනු ඍණ අගයක් නම් 0 සිට h දක්වා සීකන රේඛාවේ බෑවුම -1 වේ.ප්‍රස්ථාරයේ මෙය x =0 හිදී තුඩක් ලෙස දැකිය හැක. සුමට වක්‍රයක් සහිත ශ්‍රිතයක පවා යම් ලක්ෂ්‍යකදී ටැංජනය සිරස් නම් එය අවකල්‍ය නොවේ

සාරාංශය : ශ්‍රිතයකට ව්‍යුත්පන්නයක් තිබීමට එය සන්තතික වීම අවශ්‍ය නමුත් සන්තතික වීම පමණක් ප්‍රමාණවත් නොවේ.

ප්‍රායෝගිකව බොහෝ ශ්‍රිතවලට සෑම ලක්ෂ්‍යකදීම හෝ සෑම ලක්ෂ්‍යකදීම වාගේ ව්‍යුත්පන්න පවතී. අතීතයේදී ගණිතඥයන් සන්තතික ශ්‍රිත බොහෝ ලක්ෂ්‍යවලදී අවකල්‍ය වන බව උපකල්පනය කළේය. එය එකවිධ ශ්‍රිත හා lipschitz ශ්‍රිත සඳහා සත්‍ය වේ. නමුත් 1872 දී Weierstrass විසින් සෑම ලක්ෂ්‍යකදිම සන්තතික වන නමුත් කොතැනකදීවත් අවකල්‍ය නොවන ශ්‍රිතයක් සඳහා පළමු උදාහරණය සොයාගත්තේය. එය Weierstrass ශ්‍රිතය ලෙස හැඳින්වේ. () 16:03, 29 නොවැම්බර් 2011 (යූටීසී)wajira